貢薩洛在光學(xué)幾何認(rèn)真觀察，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。他發(fā)現(xiàn)影子是三維的，也就是說它不是二維的。我們知道三維的都是物體，全是實(shí)在的存在。影子是三維的，為什么不是實(shí)在的存在呢？他推測影子的本質(zhì)就是純粹的幾何圖形，它是物體內(nèi)在幾何形狀的體現(xiàn)。一旦影子消失，物體很可能就會(huì)一同消失。

　　既然是三維的，而我們又在三維空間里。兩個(gè)物體在不被破壞的情況下是不能重合的，而影子應(yīng)該也是這樣。然而，貢薩洛沒有看到影子相互排斥。這就說明影子不是三維的，或者它是不是實(shí)在的存在。通過分析，貢薩洛得出結(jié)論：原因是影子不是實(shí)在的存在。物體的形狀是不會(huì)改變的，而純粹的形狀則會(huì)改變。為什么呢？因?yàn)榧兇獾男螤钣泻芏喾中危中我灿凶约旱姆中?。一?jí)一級(jí)下去，沒有盡頭。所以，純粹的形狀由于分形眾多，穩(wěn)定性就差。物體的形狀雖然也如此，但是它是有限的層級(jí)。也就是說純粹的形狀不穩(wěn)定的真正原因是無限，而無限本身就是一個(gè)極其不穩(wěn)定的狀態(tài)。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)中有很多種無限。而這里的無限就是其中一種。貢薩洛認(rèn)為無論哪種物體達(dá)到哪種無限，它都會(huì)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。在自然條件下，無限會(huì)衰變成有限。

　　他把三角尺放在鋼筆上，然后用光源照射。他發(fā)現(xiàn)尺子竟然彎曲了。這說明影子的形狀其實(shí)是可以通過光學(xué)規(guī)律而人為創(chuàng)造出來。他想自己的純粹形狀說法就是不正確的。因?yàn)橛白邮俏矬w的純粹形狀。按理來說，影子的形狀是不會(huì)受到外物的影響。而事實(shí)恰好相反。這說明自己的說法存在漏洞，那么問題究竟出在哪里呢？突然，他注意到這是幾何組合。有個(gè)問題，書堆到底是一個(gè)物體還是多個(gè)物體？事實(shí)上，這個(gè)問題在光學(xué)里早有答案。沒錯(cuò)，書堆就是一個(gè)物體。這樣一來就容易解釋了。既然是整體，影子必然要合并。因?yàn)槭墙M合，又可以分開。所以，它們的影子又可以獨(dú)立。整體性說明幾何組合的不同看待方式，表示的是幾何組合的多種解釋。

　　他又用光源照射塑料凳的圓孔，結(jié)果就得到了一個(gè)復(fù)雜的影子。如果再探討下去，就屬于物理的范疇了。不過，為了數(shù)學(xué)，他也管不了這些。這是小孔成像原理的體現(xiàn)。這一發(fā)現(xiàn)又再次考驗(yàn)了純粹形狀的說法。這次，他必須用物理來解釋了。光源的光束呈現(xiàn)圓錐分散型，而小孔無疑放大了這一特點(diǎn)。我們以為光源照射小孔，那么影子必然是小孔里面的東西。其實(shí)，這是錯(cuò)誤的看法。其中，就是忽略了光束是圓錐分散型傳播一大特點(diǎn)。想到這里，貢薩洛就找到阿我拉和阿斯。然后，他就把自己的純粹形狀說法告訴了她們。她們聽后全都由衷佩服，知道貢薩洛確實(shí)用心了。她們知道數(shù)學(xué)分會(huì)有未來了，也就放心了。于是，就和貢薩洛一起研究。