概念：

　　大基數(shù)公理(large cardinal axioms)是關(guān)于大基數(shù)存在的一類新加公理。設(shè)有關(guān)于基數(shù)α的一條性質(zhì)P(α)，它是可以用ZFC系統(tǒng)的語(yǔ)言形式描述的，盡管人們根據(jù)直覺相信，有很大的α使P(α)為真，但卻不能在ZFC系統(tǒng)內(nèi)證明“?αP(α)”這一命題。人們?nèi)魧?αP(α)作為公理加入到ZFC系統(tǒng)之中，就稱之為一條大基數(shù)公理，滿足P(α)的α稱為大基數(shù)。大基數(shù)的種類很多。一般地，P(α)都是ω(其基數(shù)為0)的某個(gè)性質(zhì)向不可數(shù)基數(shù)的推廣，因而，可以說大基數(shù)公理是無(wú)窮公理的自然延伸，是人類對(duì)無(wú)窮世界的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深化的產(chǎn)物。例如，不可達(dá)基數(shù)是將ω的“集論運(yùn)算的不可到達(dá)性”推廣到不可數(shù)基數(shù)而得到的大基數(shù)。弱緊基數(shù)則是將ω所滿足的分劃關(guān)系ω→(ω)22推廣至不可數(shù)基數(shù)而得到的。從這個(gè)角度看，大基數(shù)公理為人們所樂于接受。增加了大基數(shù)公理之后，人們可以對(duì)集合論中某些懸而未決的問題做出一定程度的回答。例如，若存在強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)κ，則ZFC相容；若存在拉姆齊基數(shù)，則V≠L，即可構(gòu)造公理不真；若存在強(qiáng)緊基數(shù)κ，則V≠L[X]對(duì)任何集合X成立，又對(duì)于任何大于κ的奇異強(qiáng)極限基數(shù)λ，2λ=λ+，這對(duì)廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)做出了。

　　基數(shù)：

　　大基數(shù)是集合論用語(yǔ)。滿足某些特殊性質(zhì)的不可數(shù)基數(shù)。如“不可達(dá)基數(shù)”、“可測(cè)基數(shù)”、“超緊基數(shù)”等都是大基數(shù)。其中，不可達(dá)基數(shù)是最小的大基數(shù)。在公理集合論ZFC系統(tǒng)中，既不能證明大基數(shù)存在，也不能否認(rèn)大基數(shù)存在。?

　　由來(lái)：

　　大基數(shù)的研究由來(lái)已久。例如，早在1911年，就開始了對(duì)今天稱為馬赫羅(Mahlo，P.)基數(shù)的一類基數(shù)的研究；1930年后，就提出了不可達(dá)基數(shù)和可測(cè)基數(shù)的概念。但在20世紀(jì)60年代之前，這種研究是零星的、分散的。直到20世紀(jì)60年代，人們才將大基數(shù)公理作為集合論的附加公理來(lái)加以研究。近年來(lái)，含大基數(shù)的內(nèi)模型成為集合論研究的熱點(diǎn)。人們更習(xí)慣于用從全域V到某傳遞類M的非平凡的基本嵌入(elementary embedding)j：V→M來(lái)描述大基數(shù)公理。設(shè)κ為j的臨界點(diǎn)，即最小的滿足j(α)=α的序數(shù)，記為κ=crit(j)。此時(shí)，V和M越相似，所引入的大基數(shù)公理越強(qiáng)。例如，如果M?M，則稱κ為λ超緊基數(shù)；如果對(duì)任意為λ≥κ，κ為λ超緊基數(shù)，則稱k為超緊基數(shù)；如果Vj(k)?M，則稱k為超強(qiáng)基數(shù)；如果對(duì)于任意的f：κ→κ，存在j′：V→M′使得crit(j)=k且V?M′，其中M′是傳遞的，則稱κ為謝拉赫基數(shù)；如果對(duì)于任意的f：κ→κ，存在δ<κ，使得f在δ中封閉且存在j′：V→M′滿足crit(j′)=δ且V(j(f)(κ)?M′，其中M′是傳遞的，則稱κ為鄔丁基數(shù)。如果Vλ?M，則稱κ為λ強(qiáng)基數(shù)。λ超緊基數(shù)是以色列學(xué)者索洛韋(Solovay，R.M.)引入的。λ強(qiáng)基數(shù)和超強(qiáng)基數(shù)這兩個(gè)概念是從米雪爾(Mitchell，W.)的工作中提取出的。謝拉赫基數(shù)是分別根據(jù)他們發(fā)現(xiàn)的大基數(shù)性質(zhì)而命名的?？梢宰C明：?[2]?

　　1.若κ是2超緊基數(shù)，則存在κ個(gè)小于k的超強(qiáng)基數(shù)。

　　2.若κ是超強(qiáng)基數(shù)，則κ是謝拉赫基數(shù)并且存在κ個(gè)小于κ的謝拉赫基數(shù)。

　　3.若κ是謝拉赫基數(shù)，則κ是鄔丁基數(shù)并且存在κ個(gè)小于κ的鄔丁基數(shù)。

　　4.若κ是鄔丁基數(shù)，則κ是不可達(dá)基數(shù)并且存在κ個(gè)小于κ的基數(shù)δ滿足對(duì)于任意的λ<k，δ是λ強(qiáng)基數(shù)。

　　作為公理集合論研究的三大主流之一，大基數(shù)公理的研究與可構(gòu)造性及力迫法這兩者的研究有很大的不同：如果說后兩者對(duì)集合論中的相容性與獨(dú)立性進(jìn)行精細(xì)的探討與刻畫的話，那么前者則是充分使用各種數(shù)學(xué)工具，開拓越來(lái)越豐富的集合論研究對(duì)象。

　　用公理及邏輯的方法研究無(wú)限集與超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，是數(shù)理邏輯的主要分支之一。

　　康托爾于19世紀(jì)70～80年代的一系列工作開創(chuàng)了對(duì)無(wú)窮集的研究。他同時(shí)還提出了著名的連續(xù)假設(shè)。1900年前后，人們?cè)诳低袪柤撝邪l(fā)現(xiàn)了一系列悖論。消除悖論的途經(jīng)之一是公理方法。策墨羅于1908年發(fā)表了集論的第1個(gè)公理系，后經(jīng)佛蘭克爾等人的擴(kuò)充與完善，成為周知的ZF公理系。另一種公理系是由哥德爾與貝爾奈斯等人提出的，稱為GB公理系，其中另引入了類的概念。選擇公理(AC)早已被人隱蔽地應(yīng)用了，但首先是由策墨羅明確提出;由于其不直觀性，能否作為集論公理曾有爭(zhēng)議。多年來(lái)，AC與CH是公理集論的中心問題。1938年哥德爾引入可構(gòu)造集概念，給出AC，CH與ZF的一個(gè)模型;1963年柯亨創(chuàng)造力迫法證明了AC與CH關(guān)于ZF獨(dú)立性。其后的發(fā)展是擴(kuò)充ZFC (主要是引入大基數(shù)公理)來(lái)討論GCH及其他問題。集論發(fā)展的另一側(cè)面是強(qiáng)調(diào)它與分析、一般拓?fù)渑c測(cè)度論等分支的聯(lián)系，這是描敘性集論的主題。其中蘇斯林假設(shè)(S.H.)的獨(dú)立性及有關(guān)問題的研究，是公理集論的第2個(gè)中心問題。

　　ZF系的形式語(yǔ)言是只有一個(gè)二元關(guān)系符號(hào)∈的帶號(hào)的一階語(yǔ)言。ZF由下面8個(gè)公理組成。(1)外延公理。若X與Y有相同的元素，則X=Y。(2)無(wú)窮公理。存在無(wú)限集。下面5個(gè)公理是合法的基本造集規(guī)則。(3)配對(duì)公理。對(duì)集a與b，有一個(gè)集合恰好只含有a、b二個(gè)元素，記為{a，b}。(4)并集公理。對(duì)任集X，其并∪X也是集合。(5)冪集公理。對(duì)任集X，其所有子集全體P(X)仍是集合。(6)分離公理。對(duì)任集X及性質(zhì)P，Y={x∈X：x具有性質(zhì)P}是集合。(7)替換公理。F是一函數(shù)(在ZF系中是一導(dǎo)出概念)，對(duì)任集X，F(xiàn)[X]={F(x)：x∈X}是集合。在上述公理基礎(chǔ)上，樸素集論中的一系列基本運(yùn)算與性質(zhì)均可導(dǎo)出。(8)正規(guī)公理。每個(gè)非空集含有一個(gè)∈-極小元(非空集關(guān)于∈是一偏序集)。應(yīng)用正規(guī)公理，我們可排除羅素悖論且建立起全體集合的累積分層體系。利用分離公理取代概括原理(指每一性質(zhì)確定一個(gè)集合)，便可避免關(guān)于最大序數(shù)與基數(shù)的悖論。選擇公理AC：對(duì)任非空集S，存在函數(shù)f滿足，對(duì)任X∈S，若X≠?則f(x)∈X。稱f為S的選擇函數(shù)。ZF添上AC簡(jiǎn)記為ZFC。AC有許多不同形式的等價(jià)變形。例如，代數(shù)與分析中常用的曹恩引理，良序原理，拓?fù)渲嘘P(guān)于緊空間直積的吉洪諾夫(Tychonoff)定理等等。另外，無(wú)窮數(shù)學(xué)中的許多重要定理的證明都嶺不開AC(如戴德金無(wú)限與常規(guī)無(wú)限概念的等價(jià)性，線性空間基的存遮性，泛函中的哈恩-巴拿赫定理，L-不可測(cè)集的存在性等)。但由AC(及ZF)也可推出一些怪異的結(jié)論，如分球怪論?，F(xiàn)已知道，AC與?AC都分別與ZF相容，這情形類似于平面幾何中的平行公設(shè)。CH與SH是另2個(gè)著名的獨(dú)立性命題。實(shí)數(shù)序有一個(gè)特征：稠密完備的線性序，無(wú)界且有可數(shù)稠密子集。蘇斯林問：能否把最后一條件即可分性，換成較弱的“每一非交的開區(qū)間族可數(shù)”?他猜想這不成立，此即SH。